Opgave 3 van de eindtoets (3e ronde) 9 juni 2007:
Je hebt 2007 kaarten.
Op elke kaart is een positief geheel getal kleiner dan 2008 geschreven.
Als je een aantal (minstens 1) van deze kaarten neemt,
is de som van de getallen op de kaarten niet deelbaar door 2008.
Bewijs dat op elke kaart hetzelfde getal staat.
|
Opgave A1 uit de 1e ronde 2007:
Het getal M bestaat uit 2007 enen achter elkaar geschreven,
M = 111...111.
Wat is de som van de cijfers van het getal
dat je krijgt als je M vermenigvuldigt met 2007?
(A) 2007 (B) 18036 (C) 18063 (D) 18084 (E) 4028049
|
Opgave B3 uit de 1e ronde 2006:
Binnen een vierkant ABCD ligt een punt P.
E is het midden van de zijde CD.
Gegeven is: AP=BP=EP=10.
Wat is de oppervlakte van vierkant ABCD?
|
Opgave 3 uit de 2e ronde 2005:
a1, a2,
a3, a4 en a5
zijn vijf verschillende reële getallen.
Het aantal verschillende waarden dat de som
ai+aj kan aannemen noemen we m.
Bepaal de kleinst mogelijke waarde van m.
|
Opgave 2 van IMO 2005 (zie ook verslag NL op IMO 2005, foto):
Laat a1, a2, ...
een rij gehele getallen zijn die zowel oneindig
veel positieve als oneindig veel negatieve termen bevat.
Veronderstel dat voor elk positief geheel getal n
de getallen a1, a2, ..., an
bij deling door n
precies n verschillende resten geven.
Bewijs dat ieder geheel getal precies één keer in de rij
voorkomt.
|
Nog veel meer problemen ...
|
---|