Nederlandse Wiskunde Olympiade - Opgaven 1996

NEDERLANDSE

WISKUNDE

OLYMPIADE



Tweede ronde
13 september 1996

  1. Hoeveel verschillende (niet gelijkvormige) driehoeken zijn er waarvan de hoeken een geheel aantal graden hebben?


  2. Onderzoek of voor twee positieve gehele getallen m en n de getallen m² + n en n² + m beide kwadraten kunnen zijn van gehele getallen.


  3. Wat is het grootste aantal paarden dat je op een schaakbord kunt zetten zonder dat er ergens een tweetal paarden is dat elkaar kan slaan?

    a.
    Beschrijf een opstelling met dat maximale aantal.

    b.
    Bewijs dat een groter aantal niet mogelijk is.

    (Een schaakbord bestaat 8 × 8 velden en een paard springt van een veld naar een ander veld volgens de regel "twee vakjes verticaal en een vakje horizontaal" of "een vakje verticaal en twee vakjes horizontaal")


  4. Een lijn l snijdt het lijnstuk AB loodrecht in C. Drie cirkels zijn getekend met achtereenvolgens AB, AC en BC als middellijn. De grootste cirkel snijdt l in D. De lijnstukken DA en DB snijden de twee kleinere cirkels nog in E en F.

    a.
    Bewijs dat vierhoek CFDE een rechthoek is.

    b.
    Bewijs dat de lijn door E en F de cirkels met middellijnen AC en BC raakt in E en F.


  5. Voor de positieve gehele getallen x, y en z geldt
    1   1   1
    - + - = -
    x   y   z
    
    Bewijs dat als de drie getallen x, y en z geen enkele gemeenschappelijke deler groter dan 1 hebben, x+y het kwadraat is van een geheel getal.


Naar de oplossingen

Terug naar startpagina